役に立つヒント

二次方程式の解

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この記事では、次の形式の標準的な二次方程式を検討します。

この記事では、代わりに数値を完全な正方形に加算する方法により、二次方程式の根の公式を導き出します。 a, b, c 置換されません。

ax 2 + bx + c = 0 2方程式の両側を でも.

x 2 +(b / a)x + c / a = 0 3減算 s / a 方程式の両側から。

x 2 +(b / a)x = -c / a 4係数を x (b / a)、2で計算し、結果を2乗します。 結果を方程式の両側に追加します。

x 2 +(b / a)x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5左側を因数分解し、右側に項を追加して式を単純化します(最初に共通分母を見つけます)。

(x + b / 2a)(x + b / 2a)=(-4ac / 4a 2)+(b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a)2 =(b 2-4ac)/ 4a 2 6方程式の各辺から平方根を抽出します。

√((x + b / 2a)2)=±√((b 2-4ac)/ 4a 2)

x + b / 2a =±√(b 2-4ac)/ 2a 7減算 b / 2a 両側から、二次方程式の根の式を取得します。

判別式

二次方程式ax 2 + bx + c = 0が与えられたとすると、これはちょうど数D = b 2-4 acです。

この式は暗記する必要があります。それがどこから来たのかは今では重要ではありません。もう1つ重要なことは、判別式の符号によって、2次方程式の根の数を判断できることです。すなわち:

  1. D D = 0の場合、ルートは1つだけです。
  2. D> 0の場合、2つのルートがあります。

注:何らかの理由で多くの人が信じているように、判別式は根の数を示しており、その兆候をまったく示していません。例を見れば、すべてを自分で理解できます。

チャレンジ。二次方程式を持つ根の数:

  1. x 2-8 x + 12 = 0、
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0、
  3. x 2-6 x + 9 = 0。

最初の方程式の係数を書き、判別式を見つけます。
a = 1、b = -8、c = 12
D =(−8)2-4・1・12 = 64-48 = 16

したがって、判別式は正であるため、方程式には2つの異なる根があります。同様に、2番目の方程式を分析します。
a = 5、b = 3、c = 7
D = 3 2-4・5・7 = 9-140 = −131。

判別式は負であり、ルーツはありません。最後の方程式は残ります。
a = 1、b = -6、c = 9
D =(−6)2-4・1・9 = 36-36 = 0

判別式はゼロです-ルートは1になります。

係数は各方程式に対して書かれていることに注意してください。はい、それは長い時間です、はい、それは退屈です-しかし、あなたは係数を間違えたり、愚かな間違いをすることはありません。自分で選択してください:速度または品質。

ちなみに、「手を入れる」なら、しばらくしてすべての確率を書き出す必要はありません。このような操作は頭の中で実行します。ほとんどの人は、50-70の方程式を解いた後のどこかでそうし始めます-一般的にはそれほどではありません。

二次方程式の根

それでは、ソリューションに移りましょう。判別式がD> 0の場合、根は次の式で見つけることができます。

二次方程式の根の基本式

D = 0の場合、これらの式のいずれかを使用できます。同じ数が得られ、それが答えとなります。最後に、D x 2-2 x-3 = 0の場合、

  • 15-2 x-x 2 = 0、
  • x 2 + 12 x + 36 = 0。
  • 最初の方程式:
    x 2-2 x-3 = 0⇒a = 1、b = -2、c = -3、
    D =(−2)2-4・1・(−3)= 16。

    D> 0⇒方程式には2つの根があります。それらを見つける:

    2番目の方程式:
    15-2 x-x 2 = 0⇒a = -1、b = -2、c = 15
    D =(−2)2-4・(−1)・15 = 64

    D> 0⇒方程式には再び2つの根があります。それらを見つける

    最後に、3番目の方程式:
    x 2 + 12 x + 36 = 0⇒a = 1、b = 12、c = 36、
    D = 12 2-4・1・36 = 0。

    D = 0⇒方程式の根は1つです。任意の式を使用できます。たとえば、最初の:

    例からわかるように、すべてが非常に簡単です。公式を知っていて数えることができれば、問題はありません。ほとんどの場合、式に負の係数を代入するとエラーが発生します。ここでも、上記の手法が役立ちます。式を文字通り見て、各ステップを書き留めます-そしてすぐにエラーを取り除きます。

    不完全な二次方程式

    二次方程式は、定義で与えられたものと多少異なることが起こります。例:

    これらの方程式には項の1つが存在しないことに気付くのは簡単です。このような2次方程式は、標準の方程式よりも簡単に解くことができます。判別式を考慮する必要さえありません。そこで、新しいコンセプトを導入します。

    方程式ax 2 + bx + c = 0は、b = 0またはc = 0の場合に呼び出されます。変数xまたは自由要素の係数はゼロです。

    もちろん、これらの係数の両方がゼロに等しい場合、非常に難しいケースが可能です:b = c =0。この場合、方程式はa x 2 = 0の形式を取ります。明らかに、そのような方程式は単一の根x = 0を持ちます。

    残りのケースを考慮してください。 b = 0とすると、ax 2 + c = 0という形式の不完全な2次方程式が得られます。これをわずかに変換します。

    不完全な二次方程式の解

    算術平方根は負でない数からのみ存在するため、最後の等式は(-c / a)≥0に対してのみ意味があります。

    1. 不等式(-c / a)≥0がax 2 + c = 0の形式の不完全な2次方程式で成り立つ場合、2つの根があります。式は上記のとおりです
    2. (-c / a)c / a)≥0の場合、数量x 2を表し、等号の反対側にあるものを見るだけで十分です。正の数がある場合、2つのルートがあります。負の場合、ルートはまったくありません。

    次に、自由要素がゼロに等しいax 2 + bx = 0という形式の方程式を扱います。ここではすべてが簡単です。常に2つのルートがあります。多項式を因数分解するのに十分です:

    共通要因のブラケット

    因子の少なくとも1つがゼロの場合、積はゼロになります。ここからがルーツです。結論として、このような方程式をいくつか分析します。

    チャレンジ。二次方程式を解く:

    x 2-7 x = 0⇒x・(x-7)= 0⇒x 1 = 0、x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0⇒5 x 2 = -30⇒x 2 = -6。根がない正方形を負の数と等しくすることはできません。

    4 x 2-9 = 0⇒4 x 2 = 9⇒x 2 = 9/4⇒x 1 = 3/2 = 1,5、x 2 = −1,5.

    二次方程式の例

    • 5x 2-14x + 17 = 0
    • −x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0.25x = 0
    • x 2-8 = 0

    「a」、「b」、「c」を見つけるには、方程式を二次方程式の一般形式「ax 2 + bx + c = 0」と比較する必要があります。

    二次方程式で係数a、b、およびcを定義する練習をしましょう。

    方程式オッズ
    5x 2-14x + 17 = 0
    • a = 5
    • b = −14
    • c = 17
    −7x 2-13x + 8 = 0
    • a = −7
    • b = −13
    • c = 8
    −x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • a = −1
    • b = 1
    • c =
      1
      3
    x 2 + 0.25x = 0
    • a = 1
    • b = 0.25
    • c = 0
    x 2-8 = 0
    • a = 1
    • b = 0
    • c = −8

    二次方程式を解く方法

    一次方程式とは対照的に、根を見つけるための特別な式は二次方程式を解くために使用されます.

    二次方程式を解くには、次が必要です。

    • 二次方程式を一般的な形式「ax 2 + bx + c = 0」に減らします。つまり、右側に「0」のみを残してください。
    • 根の式を使用します。

    x1,2 =
    −b±√b 2-4ac
    2a

    式を適用して2次方程式の根を見つける方法の例を見てみましょう。二次方程式を解きます。

    方程式「x 2-3x-4 = 0」はすでに一般的な形式「ax 2 + bx + c = 0」に縮小されており、追加の簡略化は必要ありません。それを解決するには、適用するだけです 二次方程式の根を見つけるための式.

    この方程式の係数「a」、「b」、および「c」を定義します。

    方程式オッズ
    x 2-3x-4 = 0
    • a = 1
    • b = −3
    • c = -4

    式でそれらを代入して、根を見つけます。

    x 2-3x-4 = 0
    x1,2 =
    −b±√b 2-4ac
    2a

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    回答:x1 = 4、x2 = −1

    根を見つけるための式を覚えておいてください。

    x1,2 =
    −b±√b 2-4ac
    2a

    その助けを借りて、二次方程式が解かれます。

    式「x1,2 =
    −b±√b 2-4ac
    2a
    »しばしば過激な表現を置き換える
    「B 2-4ac」は「D」の文字であり、判別式と呼ばれます。判別の概念については、レッスン「判別とは」のレッスンで詳しく説明します。

    二次方程式の別の例を考えてみましょう。

    この形式では、係数「a」、「b」、および「c」の決定はかなり困難です。最初に方程式を一般的な形式「ax 2 + bx + c = 0」にしましょう。

    これで、ルートの式を使用できます。

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    回答:x = 3

    二次方程式に根がない場合があります。この状況は、ルートの下の数式に負の数が表示されるときに発生します。

    平方根の定義から、負の数から平方根を抽出することは不可能であることを覚えています。

    根を持たない二次方程式の例を考えてみましょう。

    5x 2 + 2x =-3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    回答:有効なルートがありません。

    そのため、負の数がルートの下にあるという状況になりました。これは、方程式に根がないことを意味します。したがって、これに応えて、「本当のルーツはありません」と書きました。

    「本当のルーツがない」という言葉はどういう意味ですか? 「ルーツなし」と書けないのはなぜですか?

    実際、そのような場合にはルーツがありますが、学校のカリキュラムを経ていないため、それに応じて、実数にはルーツがないと記録しています。つまり、「本当のルーツはありません」。

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